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Description: |
Come\c{c}amos por descrever os poss\'{i}veis valores pr\'{o}prios de uma
matriz do tipo $pk\times pk$, particionada em $k\times k$ blocos de tamanho $%
p\times p$ quando $2k-3$ blocos est\~{a}o fixos e os restantes variam.
De seguida s\~{a}o descritos os poss\'{i}veis polin\'{o}mios
caracter\'{i}sticos de uma matriz do tipo $pk\times pk$,
particionada
em $%
k\times k$ blocos de tamanho $p\times p$, quando $k-1$ blocos est\~{a}o
fixos e os restantes variam. Este problema conduz-nos ao estudo da
possibilidade de um par de matrizes da forma $(A,B)$ ser completamente
control\'{a}vel, onde $A$ \'{e} uma matriz quadrada e $[A$ $B]$ est\'{a}
particionada em $(k-1)\times k $ blocos de tamanho $p\times p$, quando
alguns blocos est\~{a}o fixos e os outros variam. Neste caso, tamb\'{e}m se
prova que \'{e} poss\'{i}vel prescrever $k-1$ blocos do par $(A,B)$ e a
propriedade deste par ser completamente control\'{a}vel, excepto se todos os
blocos n\~{a}o principais de uma mesma linha de $[A$ $B]$ estiverem
prescritos e forem nulos, ou todos os blocos de $B$ estiverem prescritos e
forem nulos.
Posteriormente, estudamos os poss\'{i}veis valores pr\'{o}prios de uma
matriz do tipo $n\times n$, onde $n=p_{1}+\cdots +p_{k},$ quando uma
diagonal de blocos est\'{a} prescrita e os restantes blocos variam.
No prosseguimento do trabalho desenvolvido, um problema que surge
na\-turalmente, mas que parece ser significativamente mais dif\'{i}cil,
\'{e} o de des\-crever os poss\'{i}veis polin\'{o}mios invariantes de uma
matriz do tipo $n\times n$, onde $n=p_{1}+\cdots +p_{k},$ quando alguns
blocos est\~{a}o prescritos e os outros variam. Em conformidade com esta
quest\~{a}o, surge o problema de estudar os poss\'{i}veis n\'{u}meros de
polin\'{o}mios invariantes n\~{a}o triviais de uma matriz do tipo $n\times n$%
, onde $n=p_{1}+\cdots +p_{k},$ quando alguns blocos est\~{a}o prescritos e
os outros variam. Tal como no caso anterior, estudamos os poss\'{i}veis
n\'{u}meros de polin\'{o}mios invariantes n\~{a}o triviais de uma matriz do
tipo $n\times n$, onde $n=p_{1}+\cdots +p_{k},$ quando uma diagonal de
blocos est\'{a} prescrita e os restantes blocos variam.
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