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A atribuição de preços a opções é uma das áreas fundamentais da matemática
financeira. O desenvolvimento da teoria dos preços das opções surge na sequência
do trabalho de Black e Scholes, segundo o qual a variação do preço do
activo subjacente a uma opção segue uma lei de probabilidade log-normal.
Uma vez que nem todos os pressupostos desta teoria se adequam às
evidências do mercado financeiro, o problema da determinação de uma medida de
probabilidade de risco neutro tornou-se um problema relevante na teoria dos
preços das opções.
Apresentamos uma nova abordagem numérica para a estimação da função densidade
de probabilidade de risco neutro relativa ao preço futuro do activo
subjacente a uma opção. A estimação é feita recorrendo a funções spline
cúbicas, de forma a garantir a suavidade desejada. O problema de optimização
resultante, usado para inverter os dados e determinar uma função de densidade
correspondente, é um problema convexo de programação quadrática ou semidefinida.
No caso da programação quadrática, a não negatividade da função densidade
é assegurada impondo restrições de desigualdade nos nós das funções spline.
No outro caso, o da programação semidefinida, recorre-se a uma caracterização
matricial de não negatividade de polinómios.
Testámos esta abordagem com preços de opções gerados a partir da fórmula de
Black-Scholes e com preços recentes do Índice S&P 500. Discutiremos os
resultados numéricos, que mostram a eficiência desta abordagem para a estimação
da função de densidade de risco neutro.
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